Produit de deux complexes

Proposition

Soit  \(z=x+iy\) et  \(z'=x'+iy'\) deux nombres complexes avec \(x,x',y, y'\)  des réels.

Le nombre complexe  \(zz'=z \times z'\) a pour forme algébrique : \(zz'=(xx'-yy')+i(xy'+x'y)\) .

Démonstration

C'est immédiat d'après le théorème-définition inaugural, en notant que  \(i^2=-1\) :
\(zz' = (x+iy)(x'+iy') = xx'+ixy'+iyx'+i^2yy' = xx'+ixy'+ix'y-yy'\) ,
donc \(zz'= (xx'-yy')+i(xy'+x'y)\) .